Espace mathématique

Un exercice original : des maths pour le halfpipe ?

alaplace75 — 2012-04-16T16:03:32Z

Voici un exercice original que j'ai écrit pour un sujet de brevet blanc. Comme souvent, j'ai été inspiré par les sports. Cette fois-ci coup de projecteur sur une discipline quasi-confidentielle : le snowboard et plus pécisément le halfpipe.


Shawn White, champion olympique de halfpipe en 2006 et en 2010

Celui-ci est composé de trois questions indépendantes :
calcul d'une moyenne ;
recherche de la valeur manquante pour que la moyenne soit celle annoncée ;
calcul du volume d'un demi-cylindre coupé dans perpendiculairement aux bases.

Cet exercice peut-être proposé dans la partie numérique d'un brevet blanc et peut admettre comme prolongement naturel un travail sur la section du cylindre. Il nécessite un peu d'initiative pour mettre en équation lors de la seconde question.

Cliquer ici pour lire l'énoncé :

Imiter Piet Mondrian en respectant quelques contraintes mathématiques

alaplace75 — 2011-07-27T13:38:33Z

Ces énoncés, outre le fait qu'ils permettent de découvrir un peintre néerlandais et donc de faire un peu d'histoire de l'art, peuvent constituer un devoir maison en classe de sixième. Il s'agit de tracer des rectangles et des carrés respectant certaines conditions d'aires ou de périmètres.


Une oeuvre typique du travail de Piet Mondrian

Les élèves travailleront donc à cette occasion "les formules" de calcul d'aires et de périmètres pour les rectangles et les carrés et surtout la distinction entre l'aire et le périmètre.

On pourra exposer, au CDI par exemple, les productions des élèves et même organiser un concours avec le vote des visiteurs pour désigner la plus jolie "imitation de Mondrian". On peut aussi proposer plusieurs énoncés de manière à augmenter la variété des dessins dans une classe.

La peste à Athènes et l'oracle de Delphes

alaplace75, Guillaume Chilini — 2011-07-26T08:54:02Z

La duplication du cube est l'un des trois problèmes les plus célèbres de l'Antiquité grecque avec la fameuse "quadrature du cercle" et la trisection de l'angle. Il s'agit de constuire un cube de volume double de celui d'un cube donné. Les grecs anciens ont imposé de plus, implicitement ou non, de réaliser cette construction à la règle et au compas seuls. On sait désormais avec certitude, depuis les travaux de Wantzel (1837), que ces trois problèmes n'ont pas de solution avec les outils désignés.


La duplication du cube (image : collection décimale, Belin)

On dit qu'à l'origine de la duplication du cube se trouve l'épidémie de peste qui sévit autour de 430 av J-C à Athènes ou à Délos. Les habitants demandèrent à l'oracle de Delphes comment faire cesser cette épidémie. La réponse de l'oracle fut qu'il fallait doubler l'autel consacré à Apollon, autel dont la forme était un cube parfait. Après de nombreux échecs, les architectes allèrent probablement trouver Platon pour savoir comment faire. Ce dernier leur répondit que leur dieu n'avait certainement pas besoin d'un autel double, mais qu'il leur faisait reproche, par l'intermédiaire de l'oracle, de négliger la géométrie.

Cette légende, qui a de nombreuses variantes, m'a inspiré cet exercice de mathématiques. On y retrouve un calcul de volume et une recherche du coefficient d'agrandissement par tâtonnements, via une petite équation cubique, puis par lecture graphique.

Enfin, on observe que l'oracle de Delphes a posé une question bigrement difficile et qu'une petite modification de ses désirs aurait pu engendrer un problème bien plus facile...

Compétences travaillées :
calcul du volume d'un cube, d'une pyramide ;
mise en équation d'un problème ;
calcul de la valeur d'une expression littérale ;
lecture graphique d'un antécédent ;
cube d'un nombre ;
technique du test successif ;
"théorème " pour l'agrandissement.

Le magot des Dalton

alaplace75 — 2011-07-25T20:28:11Z

Voici une petite énigme qui pourra embêter pas mal d'élèves de sixième par exemple..."La solution" la plus évidente, n'est pas forcément la bonne !

Enoncé :

Les 4 frères Dalton se partagent le butin de leur dernier braquage. En attaquant le Pony Express, ils ont dérobé un coffre rempli de pièces d'or. Leur méthode de partage est la suivante :
Joe, qui est l'instigateur de ce braquage, prend 10 pièces d'or ;
William, Jack et Averell, dans l'ordre, prennent ensuite chacun 5 pièces d'or ;
Ils recommencent ainsi jusqu'à épuisement des pièces.

Lorsque le partage est terminé, Joe Dalton compte ses pièces d'or. Il en possède 274.

Combien y avait-il de pièces d'or dans ce coffre ?

Cyclisme et mathématiques : le développement d'une bicyclette et autres réjouissances mathématiques en lien avec le cyclisme

alaplace75 — 2011-07-25T17:20:51Z

Pour "fêter" la fin du Tour de France, je vous propose un article sur les liens entre le cyclisme et notre discipline favorite : les mathématiques.

J'ai écrit cet énoncé composé de 9 problèmes relativement autonomes, principalement centré sur le développement d'une bicyclette et sur le braquet adopté par un cycliste. En effet, le braquet est défini comme le quotient entre le nombre de dents du plateau et le nombre de dents du pignon. Quant au calcul du développement, il nécessite de calculer le périmètre de la roue. Ainsi, il était facile de rédiger quelques exercices de mathématiques autour de ces notions.

Les exercices pourront être donnés à divers niveaux de la scolarité au collège selon les besoins de l'enseignant ou être entièrement traités en classe de quatrième dans l'optique de la validation du socle commun de compétences.

Outre les diverses attitudes liées à l'interprétation des résultats trouvés dans le contexte du cyclisme, on pourra notamment valider les capacités suivantes :
Effectuer à la main sur des nombres en écriture décimale des multiplications et des divisions ;
Comparer des nombres en écriture fractionnaire ;
Calculer de la valeur d'une expression littérale pour différentes valeurs des variables ;
Utiliser le produit en croix ;
Utiliser la notion d'échelle ;
Calculer des vitesses ;
Effectuer des conversions d'unités.

L'intégralité du sujet permet notamment de travailler :
le calcul du périmètre du cercle ;
la notion de valeur approchée et d'arrondi d'un quotient ;
la multiplication des nombres décimaux ;
la comparaison des nombres écrits en écriture fractionnaire ;
le produit en croix et la proportionnalité ;
la notion d'inégalité voire d'inéquation ;
l'encadrement d'un nombre ;
la conversion d'unités ;
le calcul d'une vitesse moyenne ;
la notion d'échelle ;
le calcul de la valeur d'une expression littérale.


La mythique montée de l'Alpe d'Huez est bien sûr présente dans mon énoncé

Ainsi, l'enseignant peut piocher dans la partie qui l'intéresse un exercice original sur le thème du cyclisme, en l'accompagnant de la définition du braquet et du développement présentée en introduction. A chacun donc de voir l'usage qu'il compte faire de ce document !

Repérage dans le plan sur le thème de Lucky Luke et les Dalton

alaplace75, Stéphanie Courbot — 2011-07-21T12:45:02Z

Vous avez déjà peut-être vu, sur le site m@ths et tiques de Yvan Monka, un exercice de repérage dans le plan qui fait placer et relier des points petit à petit jusqu'à dessiner une tête de Gaston Lagaffe. Cet exercice commence à être connu et quelques collègues, comme Caroline Martelet ont eu envie de l'imiter (voir son travail sur les Simpson notamment chez m@ths et tiques.)

Aujourd'hui, je vous présente le travail de Stéphanie Courbot qui a eu la gentillesse de s'adresser à moi quand elle a eu envie de reprendre l'idée d'Yvan Monka et de la mêler à la mienne : utiliser les frères Dalton et Lucky Luke comme personnages récurrents tout au long d'une année scolaire et au service des notions abordées. Stéphanie nous propose donc trois de ses propres productions : Lucky Luke, Rantanplan et Joe Dalton.

Si, vous aussi, vous êtes tentés par l'aventure et vous avez envie de réaliser vos propres personnages, Stéphanie Courbot nous décrit ici la méthode qu'elle a employé pour réaliser ces exercices.

A.L : Stéphanie, comment procédez-vous pour fabriquer vos exercices de repérage ?

S.C : Pour la méthode, je travaille sous GeoGebra, dans lequel j'insère une image trouvée sur internet. Ensuite je crée les points nécessaires à la trame du dessin en suivant les contours du dessin.


Créer les points avec Geogebra

Puis avec le logiciel "paint" par exemple, j'efface sur l'image de départ tous les traits que je veux faire tracer aux élèves.


Effacer les contours voulus avec Paint

Il suffit alors d'insérer cette nouvelle image dans GeoGebra à la place de la précédente.

Le plus fastidieux, c'est ensuite de créer le texte de construction : soit recopier tous les points un par un ou enregistrer le document GeoGebra "en feuille de travail dynamique en page web". Mais le problème, c'est que GeoGebbra n'utilise pas les mêmes notations que nous pour les coordonnées : il utilise des points à la place des virgules dans les nombres décimaux et des virgules à la place des points virgules.... bref c'est ça le plus long.

Merci à Stéphanie pour sa participation au site des "expériences des profs de maths"

Et à vous jouer pour d'autres super-héros par exemple !

Voir en ligne : m@ths et tiques

Un problème fait maison : transformation d'un essai au rugby

alaplace75 — 2011-07-13T16:56:35Z

L'idée de réaliser un problème sur ce sujet m'est venue à la lecture de l'article de Damien Rivollier intitulé "Séance sur la transformation des essais au rugby" sur le site de l'IREM de Lyon (voir lien).


Modélisation de la situation

Ce professeur de lycée propose d'étudier la position optimale du placement du ballon pour tenter la transformation d'un essai au rugby à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique. Mon idée était d'utiliser cet article pour écrire un énoncé de problème du type de ceux des derniers sujets de brevet.


Transformation d'un essai

Quelques heures de réflexion plus tard, je vous propose un sujet qui pourrait être proposé au DNB blanc ou être modifié à votre guise. Ce sujet comporte cinq parties indépendantes.

Les deux premières parties utilisent la trigonométrie de niveau troisième et laissent une ouverture possible vers le théorème de Pythagore. La troisième partie est un exercice de construction utilisant les notions de médiatrice, de cercle circonscrit et de tangente à un cercle. La quatrième partie traite de pourcentage, un sujet à la mode dans les derniers sujets de DNB. Quant à la dernière partie, il s'agit de travailler les décompositions additives de 28 et 33. L'ensemble du sujet nécessite une lecture attentive, une bonne compréhension du contexte et un peu d'initiative...

On peut également facilement modifier le sujet en faisant une partie à dominante statistique (moyenne des transformations réussies sur plusieurs années, médiane...) ou poser des questions sur les probabilités de réussir les transformations.

Voir en ligne : Lien vers l'article de Damien Rivollier et page d'essai à la conjecture

Recherche d'un nombre et mise en équation

alaplace75 — 2011-07-12T12:39:40Z

Voici quatre petits problèmes de recherche d'un nombre mystère à mettre en équation. Ces quatre problèmes amènent quatre techniques de résolution bien distinctes.

Problème 1

Lorsque j'ajoute 3 à un nombre, j'obtiens le même résultat que si je le divise par 3. Quel est ce nombre ?

Problème 2

Lorsque je calcule le produit d'un nombre par son quadruple, je trouve 16. Quel est ce nombre ?

Problème 3

Le quart d'un nombre est égal au double de son inverse. Quel est ce nombre ?

Problème 4

Lorsque je triple le carré d'un nombre, je trouve le double de ce nombre. Quel est ce nombre ?

Analyse des techniques

Pour le problème 1, une mise au même dénominateur est utile pour se débarrasser du dénominateur 3, issu de la division par 3. Celle-ci engendre l'utilisation de la distributivité simple.

Pour les problèmes 2 et 3 , on se ramène à une équation de la forme x² = a, avec un produit en croix dans le cas du problème 3.

Enfin pour le dernier problème, une factorisation permet de ramener la recherche à une équation-produit.

Introduire les algorithmes d'obtention du PGCD

alaplace75 — 2011-07-11T16:43:38Z

Mes élèves apprennent à obtenir le PGCD de deux nombres entiers dans une première séquence de travail en listant les diviseurs puis les diviseurs communs de ces deux nombres.

Quelques semaines plus tard, il s'agit de travailler les deux algorithmes classiques (différences successives et Euclide). Il me vient alors la stupide idée "de balancer mon savoir" : il faut faire comme ça et pas autrement...on calcule la différence des deux nombres et ainsi de suite.... Mais vite, je réagis : il faut donner du sens à ce que je fais (sans abandonner le côté mécanique de l'algorithme)... Et me voilà donc avec mon meilleur collègue à chercher un vendredi après-midi après les cours une justification à la pertinence des algorithmes.

D'emblée, il s'impose qu'il y a des questions qui se résoudront facilement.
D'abord, pourquoi ressentir le besoin d'utiliser un des deux algorithmes ? Simple, parce que faire la liste des diviseurs communs de deux grands nombres comme 15 926 et 6 876 est voué à l'échec ou sera très long.

Ensuite, pourquoi élaborer un second algorithme (celui d'Euclide) alors qu'un premier (celui des différences successives) a été conçu ? Simple, parce que le second permet d'accélérer le premier. Par exemple, dans l'algorithme d'Euclide lorsque je pose 28 divisé par 5, cela m'évite de poser 5 soustractions successives puisque le quotient de 28 par 5 est 5. Je trouve directement 3 et je "gagne" 4 étapes.

Mais pourquoi faire des soustractions successives et pourquoi cela conduit bien au PGCD des deux nombres ?

Ah, facile, parce que PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a-b) ! Bon d'accord, mais alors il faudra démontrer cette propriété. Mais cela ne justifie pas le recours aux soustractions.

En réalité, le problème du PGCD de 15 926 et 6 876 est difficile avec la liste des diviseurs parce que les nombres sont grands. D'où l'idée de les faire rapetisser. Rapetisser, oui, mais pas n'importe comment !

Après débat avec mon collègue, je décide de présenter les choses ainsi.

J'arrive : "bonjour, j'ai un problème !" (Mes élèves sont contumiers de cette entrée en matière, en gros cela veut dire, je vais vous poser une question dure, vous allez devoir vous creuser la tête pour trouver une stratégie qui vous conduise au résultat, quand vous aurez trouvé, on commencera le nouveau chapitre avec la technique que vous aurez inventé...)

"Je veux un palais somptueux à ma gloire, aussi je veux paver une salle de 15 926 cm de longueur sur 6 876 cm de largeur avec des carrés en marbre, mais bien évidemment je veux les carrés les plus grands possibles et je veux éviter de les découper car c'est trop compliqué. Quelle est la longueur du côté des carrés que je vais demander à mes esclaves ?"

Il vient assez vite que nous cherchons des diviseurs communs à 15 926 et 6 876 et parmi eux le plus grand de tous car des problèmes de partage ont déjà été travaillés avec la liste des diviseurs. Et voici mes élèves dociles en train d'écrire la liste des diviseurs de 15 926 ! Mes élèves les plus soupçonneux commencent à soupirer car la recherche des diviseurs commencent à leur paraître longue...

Je décide alors d'arrêter la phase de recherche pour faire établir que la recherche des diviseurs par liste ne nous permettra pas de conclure rapidement. Il émerge alors l'idée que les nombres de départ sont trop grands et puisqu'il y a un problème, il faudrait trouver un moyen de le contourner et donc de se ramener à des nombres petits car cela on sait bien faire.

La question est posée : comment rapetisser les nombres ? Première idée intéressante, une élève propose de les diviser tous les deux par un même nombre (en s'inspirant de la simplification de fraction). Je montre alors que le PGCD de 16 et 10 n'est pas le même que le PGCD de 8 et 5 (nombres deux fois plus petits que 16 et 10), il est deux fois plus petit. Un élève trouve cela intéressant et propose donc de simplifier la fraction jusqu'à la fraction irréductible et de multiplier entre eux tous les diviseurs qui m'ont servi à simplifier la fraction. Mais cette technique revient à trouver les diviseurs donc est trop longue et difficile.

Un élève propose alors de calculer 15 926 - 6 876 car cela va rapetisser un des deux nombres. L'idée est bonne, je propose de l'examiner dans le cas où je cherche le PGCD de 156 et 96 (nombres judicieusement choisis pour que les quotients successifs soient 1 et donc pour éviter de faire trop de soustractions) pour simplifier et voir si cette idée mène quelque part. D'emblée, je fais établir les listes de diviseurs de 156 et 96. Le PGCD apparaît, c'est 12. D'autres diviseurs communs sont visibles : 1 - 2 - 3 - 4 - 6. Mon élève explique que 156 - 96 = 60. Je fais établir la liste des diviseurs de 60 : oh, surprise, on retrouve dedans les nombres 1 - 2 - 3 - 4 - 6 - 12. Je mets en évidence que le PGCD de 156 et 96 est le même que le PGCD de 96 et 60. En faisant cela, je ne fais rien d'autre que d'illustrer sur un exemple que a et b ont les mêmes diviseurs communs que b et a - b.

Je redonne la parole à mon élève qui décide d'éliminer 156 car il est le plus grand et de calculer 96 - 60 = 36. Je fais écrire illico la liste des diviseurs de 36 dans laquelle je retrouve 1 - 2 - 3 - 4 - 6 - 12. C'est curieux !

On continue en faisant 60 - 36 = 24 puis 36 - 24 = 12 et en écrivant les diviseurs de 24 et 12 où je retrouve encore 1 - 2 - 3 - 4 - 6 - 12. La soustraction suivante est 12 -12 qui donne 0 et mes élèves sentent que c'est terminé...la liste des diviseurs de 12 est exactement celle des diviseurs communs de 156 et 96.

Je décide de baptiser le principe des soustractions du nom de mon élève, cela lui fait plaisir ! Nous terminons le problème du palais à ma gloire avec la technique trouvée par les élèves.

Au cours suivant, nous démontrons que PGCD(a ; b) = PGCD(b ; a - b) si a> b. Puis, il suffit de faire émerger l'algorithme d'Euclide en montrant que le principe des soustractions successives est parfois long et que l'on gagne du temps en remplaçant les soustractions répétitives par une division euclidienne.

Voilà les algorithmes d'obtention du PGCD découverts et justifiés par l'exemple et sans "balancer : c'est comme ça et puis c'est tout !"

Quinze nouveaux exercices nécessitant une prise d'initiative pour préparer le DNB

alaplace75 — 2011-05-18T12:58:00Z

Voici quinze nouveaux exercices laissant une large place à la prise d'initiatives. Les énoncés volontairement ouverts peuvent servir de préparation à l'épreuve de mathématiques du DNB. Après le succès des quinze premiers exercices sur mon site, je suis reparti à la recherche de nouveaux problèmes accessibles au niveau troisième et je vous livre le résultat de mes recherches. 15 nouveaux exercices (...) - Brevet blanc / équation, DNB, brevet, initiative, Racines carrées, irrationnel, Al-Kashi